यदि f(x) = x e^{x(1-x)}, x in R है,तो f(x) है | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = x e^{x(1-x)}$.गुणनफल नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके,हम अवकलज ज्ञात करते हैं:$f'(x) = 1 \cdot e^{x(1-x)} + x \cdot e^{x(1-

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$[-1/2, 1]$ पर वर्धमान

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(C) दिया गया है $f(x) = x e^{x(1-x)}$.गुणनफल नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके,हम अवकलज ज्ञात करते हैं:$f'(x) = 1 \cdot e^{x(1-x)} + x \cdot e^{x(1-x)} \cdot (1-2x)$$f'(x) = e^{x(1-x)} [1 + x - 2x^2]$$f'(x) = -e^{x(1-x)} [2x^2 - x - 1]$द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:$f'(x) = -e^{x(1-x)} (2x + 1)(x - 1)$$f'(x) = -2 e^{x(1-x)} (x + 1/2)(x - 1)$चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{x(1-x)} > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $-(x + 1/2)(x - 1)$ पर निर्भर करता है।$x \in [-1/2, 1]$ के लिए,गुणनफल $(x + 1/2)(x - 1) \leq 0$ होता है।इसलिए,$-(x + 1/2)(x - 1) \geq 0$ होता है।अतः,$x \in [-1/2, 1]$ के लिए $f'(x) \geq 0$ है।इसलिए,$f(x)$ अंतराल $[-1/2, 1]$ पर वर्धमान है।

यदि $f(x) = x e^{x(1-x)}, x \in R$ है,तो $f(x)$ है

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